Question

11．如圖1，E是直線AB，CD內(nèi)部一點，AB∥CD，連接EA，ED．
（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，則∠AED等于多少度？
③猜想圖1中∠AED、∠EAB、∠EDC的關系并說明理由．
（2）拓展應用，如圖2，線段FE與長方形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD 交于點F．圖2中①②分別是被線段FE隔開的2個區(qū)域（不含邊界），P是位于以上兩個區(qū)域內(nèi)的一點，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的關系（不要求說明理由）

Answer 1

分析 （1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②、③根據(jù)①的過程可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=30°，∠D=40°，
∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，
∴∠AED=∠1+∠2=70°；

②過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=20°，∠D=60°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：過點E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）．

（2）如圖2，當點P在①區(qū)域時，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；
當點P在區(qū)域②時，如圖3所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．

點評 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關鍵．