Question

10．如圖，已知以Rt△ABC的斜邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠ABC的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O切線；  
（2）若EF=8，tan∠AEF=$\frac{1}{2}$，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，交AC于G點，如圖，由∠ABE=∠CBE得$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，則根據(jù)垂徑定理得到OE⊥AC，而EF∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OE⊥EF，于是根據(jù)切線的判定定理得到EF是⊙O切線；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)由AG∥EF得∠EAG=∠AEF，在Rt△AEG中，利用正切的定義得tan∠EAG=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)EG=x，⊙O的半徑為r，則AG=2x，OG=r-x，在Rt△AGO中，利用勾股定理可得r=$\frac{5}{2}$x，則OG=$\frac{3}{2}$x，在證明△OAG∽△OFE，利用相似比可計算出AG=$\frac{24}{5}$，所以x=$\frac{12}{5}$，則OG=$\frac{18}{5}$，接著利用三角形中位線性質(zhì)得BC=2OG=$\frac{36}{5}$，然后根據(jù)圓周角定理得∠CBD=∠EAC，于是在Rt△BCD中，利用tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$可計算出CD．

解答 （1）證明：連結(jié)OE，交AC于G點，如圖，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，
∴OE⊥AC，
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O切線；
（2）解：∵AG∥EF，
∴∠EAG=∠AEF，
在Rt△AEG中，tan∠EAG=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)EG=x，⊙O的半徑為r，則AG=2x，OG=r-x，
在Rt△AGO中，（2x）²+（r-x）²=r²，則r=$\frac{5}{2}$x，
∴OG=$\frac{3}{2}$x，
∵AG∥EF，
∴△OAG∽△OFE，
∴$\frac{AG}{EF}$=$\frac{OG}{OE}$，即$\frac{AG}{8}$=$\frac{\frac{3}{2}r}{\frac{5}{2}r}$，則AG=$\frac{24}{5}$，
∴x=$\frac{12}{5}$，
∴OG=$\frac{18}{5}$，
∵OA=OB，AG=CG，
∴OG=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2OG=$\frac{36}{5}$，
∵∠CBD=∠EAC，
∴tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{18}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理、垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．