Question

4．閱讀資料：
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=${{|x}_{2}{-x}_{1}|}^{2}$+${{|y}_{2}{-y}_{1}|}^{2}$，所以A，B兩點(diǎn)間的距離為AB=$\sqrt{{{（x}_{2}{-x}_{1}）}^{2}{+{（y}_{2}{-y}_{1}）}^{2}}$．
我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA²=|x-0|²+|y-0|²，當(dāng)⊙O的半徑為r時(shí)，⊙O的方程可寫為：x²+y²=r²．
問(wèn)題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為（x-a）²+（y-b）²=r²．
綜合應(yīng)用：如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使tan∠POA=$\frac{3}{4}$，作PD⊥OA，垂足為D，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)B，連接AB．問(wèn)：是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）問(wèn)題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，則有AP=r，根據(jù)閱讀材料中的兩點(diǎn)之間距離公式即可求出⊙P的方程；
（2）綜合應(yīng)用：先判斷出∠PAB=90°，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠OBP=∠PAO=∠POA，則有tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{3}{4}$．由P點(diǎn)坐標(biāo)可求出OP、OB．過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥OB于E，得出QE是△POB的中位線即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）問(wèn)題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，
∵P（a，b），半徑為r，
∴AP²=（x-a）²+（y-b）²=r²．
故答案為（x-a）²+（y-b）²=r²；

（2）綜合應(yīng)用：
如圖，

假設(shè)存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q，
即：點(diǎn)O，P，A，B四點(diǎn)在⊙Q上，
∴OQ=OP=OB
∵⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，
∴PO=PA，∠POB=90°，
∴PB是⊙Q的直徑，
∴∠PAB=90°
在⊙P中，PO=PA，
∴∠POA=∠PAO，
∵點(diǎn)O，P，A，B在⊙Q上，
∴∠PBO=∠PAB，
∴∠PBO=∠POA，
∵tan∠POA=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠PBO=$\frac{3}{4}$，
∵P（0，3），
∴OP=3，
在Rt△POB中，OP=3，tan∠PBO=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴OB=4，PB=5，
∴OQ=BQ=PQ=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{5}{2}$，
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥OB于E，
∴QE∥OP，
∵PB是⊙Q的直徑，
∴PQ=BQ，
∴QE是△POB的中位線，
∴QE=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{3}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴Q（$\frac{3}{2}$，2），
∵OQ=$\frac{5}{2}$，
∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O的方程為（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，圓的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的中位線定理，解本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．