Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{n}$（m≠0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D（0，4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，6），且tan∠ACO=2．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；
（3）在x軸上求點(diǎn)E，使△ACE為等腰三角形．（直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)）

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，根據(jù)已知條件得到C（-2，0），解方程組即可得到結(jié)論；
（2）A的坐標(biāo)為（n，6），代入一次函數(shù)的解析式得到A（1，6），即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，①當(dāng)AC=CE=3$\sqrt{5}$時(shí)，如圖2，得到點(diǎn)E（-2-3$\sqrt{5}$，0）或（3$\sqrt{5}$-2，0）；②當(dāng)AC=AE時(shí)，如圖3，過(guò)A作AF⊥CE于F，得到E（4，0）；③當(dāng)AE=CE時(shí)，如圖4，此時(shí)點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，根據(jù)勾股定理得到E（$\frac{11}{2}$，0）．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，
∵D（0，4），tan∠ACO=2，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x+4；

（2）∵A的坐標(biāo)為（n，6），
∴6=2x+4，
∴x=1，
∴A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{6}{x}$；

（3）∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵△ACE為等腰三角形，
①當(dāng)AC=CE=3$\sqrt{5}$時(shí)，如圖2，
∵OC=2，
∴點(diǎn)E（-2-3$\sqrt{5}$，0）或（3$\sqrt{5}$-2，0）；
②當(dāng)AC=AE時(shí)，如圖3，
過(guò)A作AF⊥CE于F，
∴EF=CF=3，
∴E（4，0）；
③當(dāng)AE=CE時(shí)，如圖4，
此時(shí)點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，
∴CE=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}+（3\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{15}{2}$，
∴E（$\frac{11}{2}$，0）；
綜上所述，E（-2-3$\sqrt{5}$，0）或（3$\sqrt{5}$-2，0）或（4，0）或（$\frac{11}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力．