Question

5．設(shè)a，b是任意兩個不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；
（3）若函數(shù)y=x²是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{2013}{x}$的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組$\left\{\begin{array}{l}{km+b=m}\\{kn+b=n}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{km+b=n}\\{kn+b=m}\end{array}\right.$，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值；
（3）二次函數(shù)y=x²的圖象開口方向向上，最小值是0，且當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；分以下三種情況：0≤a＜b、a＜0＜b、a＜b≤0，分別根據(jù)閉函數(shù)定義列出關(guān)于a、b的方程組，求解后依據(jù)a、b的范圍取舍即可得．

解答 （1）反比例函數(shù)y=$\frac{2013}{x}$是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”．理由如下：
反比例函數(shù)y=$\frac{2013}{x}$在第一象限，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=1時，y=2013；
當(dāng)x=2013時，y=1，
所以，當(dāng)1≤x≤2013時，有1≤y≤2013，符合閉函數(shù)的定義，故反比例函數(shù)y=$\frac{2013}{x}$是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”；

（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．
①當(dāng)k＞0時，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而增大，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，
$\left\{\begin{array}{l}{km+b=m}\\{kn+b=n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
∴此函數(shù)的解析式是y=x；
②當(dāng)k＜0時，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而減小，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，$\left\{\begin{array}{l}{km+b=n}\\{kn+b=m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=m+n}\end{array}\right.$．
∴此函數(shù)的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵該二次函數(shù)y=x²的圖象開口方向向上，最小值是0，且當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；
∴分以下三種情況討論：
①當(dāng)0≤a＜b時，根據(jù)閉函數(shù)定義知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=a}\\{^{2}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍）；
②當(dāng)a＜0＜b時，此時二次函數(shù)的最小值為0，由閉函數(shù)定義知a²=0，b²=a或b²=b，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍）；
③當(dāng)a＜b≤0時，根據(jù)閉函數(shù)定義知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=b}\\{^{2}=a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍）；
綜上，a=0，b=1．

點(diǎn)評 本題綜合考查了二次函數(shù)圖象的對稱性和增減性，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義．解題時也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．