Question

8．已知拋物線y=ax²+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-$\frac{1}{2}$）和（m-b，m²-mb+n），其中a、b、c、m、n為常數(shù)，且a、m不為0．
（Ⅰ）求c和n的值；
（Ⅱ）判斷拋物線y=ax²+bx+c與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，設(shè)拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（x₀，y₀），（y₀＞0），求y₀的最小值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（0，-$\frac{1}{2}$）分別代入y=ax²+bx+c和y=mx+n中可得到c和n；
（Ⅱ）把點(diǎn)（m-b，m²-mb-$\frac{1}{2}$）代入y=ax²+bx-$\frac{1}{2}$整理得到（m-b）²（a-1）=0，判斷m-b≠0，則a-1=0，于是得拋物線解析式為y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，然后利用判別式的意義判斷拋物線y=ax²+bx+c與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)；
（Ⅲ）先確定拋物線y=x²+bx-$\frac{1}{2}$的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-$\frac{2}$，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類(lèi)討論：①當(dāng)-1≤-$\frac{2}$＜0，即b＞2時(shí)，易得拋物線上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（1，y₀），此時(shí)y₀＞$\frac{5}{2}$；②當(dāng)-$\frac{2}$＞1，即0≤b≤2時(shí)，易得拋物線與x軸距離最大的點(diǎn)為P（1，y₀），此時(shí)y₀≥$\frac{1}{2}$（b=0時(shí)取等號(hào)）；③當(dāng)0＜-$\frac{2}$≤1，即-2≤b＜0時(shí)，易得拋物線上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（-1，y₀），此時(shí)y₀＞$\frac{1}{2}$；當(dāng)-$\frac{2}$＞1，即b＜-2時(shí)，易得拋物線上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（-1，y₀），此時(shí)y₀＞$\frac{5}{2}$，綜上所述，當(dāng)b=0，x₀=1時(shí)，y₀的最小值為$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）把點(diǎn)（0，-$\frac{1}{2}$）代入y=ax²+bx+c得c=-$\frac{1}{2}$；
把點(diǎn)（0，-$\frac{1}{2}$）代入y=mx+n得n=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）拋物線y=ax²+bx+c與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)．理由如下：
把點(diǎn)（m-b，m²-mb-$\frac{1}{2}$）代入y=ax²+bx-$\frac{1}{2}$得a（m-b）²+b（m-b）-$\frac{1}{2}$=m²-mb-$\frac{1}{2}$，
所以（m-b）²（a-1）=0，
當(dāng)m-b=0時(shí)，點(diǎn)（0，-$\frac{1}{2}$）與點(diǎn)（m-b，m²-mb+n）重合，
所以m-b≠0，
所以a-1=0，
解得a=1，
此時(shí)拋物線解析式為y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，
因?yàn)椤?b²-4×1×（-$\frac{1}{2}$）=b²+2＞0，
所以?huà)佄锞�y=ax²+bx+c與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)；
（Ⅲ）拋物線y=x²+bx-$\frac{1}{2}$的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-$\frac{2}$，
①當(dāng)-1≤-$\frac{2}$＜0，即b＞2時(shí)，
所以在x軸上方，拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（1，y₀），
此時(shí)y₀=1+b-$\frac{1}{2}$=b+$\frac{1}{2}$＞$\frac{5}{2}$，
所以此時(shí)y₀的最小值大于$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)-$\frac{2}$＞1，即0≤b≤2時(shí)，
所以在x軸上方，拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（1，y₀），
此時(shí)y₀=1+b-$\frac{1}{2}$=b+$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$（b=0時(shí)取等號(hào)），
所以此時(shí)y₀的最小值為$\frac{1}{2}$；
③當(dāng)0＜-$\frac{2}$≤1，即-2≤b＜0時(shí)，
所以在x軸上方，拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（-1，y₀），
此時(shí)y₀=1-b-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{1}{2}$
所以此時(shí)y₀的最小值大于$\frac{1}{2}$；
④當(dāng)-$\frac{2}$＞1，即b＜-2時(shí)，
所以在x軸上方，拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（-1，y₀），
此時(shí)y₀=1-b-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{5}{2}$，
所以此時(shí)y₀的最小值大于$\frac{5}{2}$，
綜上所述，當(dāng)b=0，x₀=1時(shí)，y₀的最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；利用判別式的意義判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想解決（3）小題．