Question

16．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，4），直線y=2x-3分別交x軸、y軸于D、E點(diǎn)，若線段BC上有一點(diǎn)P，直線DE上有一點(diǎn)Q，△APQ是以AP為斜邊的等腰直角三角形，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，1）或（5，3）．

Answer 1

分析 分點(diǎn)B、Q在AP兩側(cè)和點(diǎn)B、Q在AP同側(cè)兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)B、Q在AP兩側(cè)時，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，作QF⊥BC于F，通過角的計(jì)算可得出∠QAE=∠QPF，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可證出△QAE≌△QPF（AAS），進(jìn)而可得出AE=PF、QE=QF，設(shè)點(diǎn)Q（a，2a-3），則AE=PF=a，QE=4-（2a-3）=7-2a，QF=5-a，根據(jù)QE=QF即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a值，從而得出點(diǎn)Q、F、P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)B、Q在AP同側(cè)時，過點(diǎn)Q作QM⊥AB于M，作QN⊥BC于N，同理可證出△QAE≌△QPF（AAS），進(jìn)而可得出QM=QN、AM=PN，設(shè)點(diǎn)Q（a，2a-3），則AM=PN=a，QM=（2a-3）-4=2a-7，QN=5-a，根據(jù)QE=QF即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a值，從而得出點(diǎn)Q、F、P的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)B、Q在AP兩側(cè)時，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，作QF⊥BC于F，如圖1所示．
∵∠B=∠AQP=90°，
∴∠QAE+∠QPB=180°，
∴∠QAE=∠QPF．
∵△APQ是以AP為斜邊的等腰直角三角形，
∴QA=QP．
在△QAE和△QPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEQ=∠PFQ=90°}\\{∠QAE=∠QPF}\\{QA=QP}\end{array}\right.$，
∴△QAE≌△QPF（AAS），
∴AE=PF，QE=QF．
設(shè)點(diǎn)Q（a，2a-3），則AE=PF=a，QE=4-（2a-3）=7-2a，QF=5-a，
∴7-2a=5-a，解得：a=2，
∴Q（2，1），F(xiàn)（5，1），
∴點(diǎn)P（5，3）；
當(dāng)點(diǎn)B、Q在AP同側(cè)時，過點(diǎn)Q作QM⊥AB于M，作QN⊥BC于N，如圖2所示．
∵∠AQP=∠B=90°，
∴∠BAP+∠BPA=∠QAP+∠QPA=90°．
∵∠QAP=∠BAP+∠QAM，∠QPA=∠BPA-∠QPN，
∴∠QAM=∠QPN．
∵△APQ是以AP為斜邊的等腰直角三角形，
∴QA=QP．
在△QAM和△QPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QMA=∠QNP=90°}\\{∠QAM=∠QPN}\\{QA=QP}\end{array}\right.$，
∴△QAM≌△QPN（AAS），
∴QM=QN，AM=PN．
設(shè)點(diǎn)Q（a，2a-3），則AM=PN=a，QM=（2a-3）-4=2a-7，QN=5-a，
∴2a-7=5-a，解得：a=4，
∴Q（4，5），N（5，5），
∴點(diǎn)P（5，1）．
綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，1）或（5，3）．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角的計(jì)算、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形以及解一元一次方程，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)找出關(guān)于點(diǎn)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．