Question

12．如圖1，正方形ABCD（四條邊相等，四個(gè)角是直角）的邊長(zhǎng)為7cm，點(diǎn)M在邊DC上，且CM=2cm，過點(diǎn)M作 ME⊥DC，交BD于點(diǎn)E．，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DC邊向M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．連接EP，EC．在此過程中，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）EM=5cm，
PC=7-2tcm（用含t的代數(shù)式表示），
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$秒時(shí)，△EPC的面積為15？
（2）將△EPC沿CP翻折后如圖2，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)，若PF∥EC，則△EPC為等腰三角形，請(qǐng)說明理由并求此時(shí)t為何值．
（3）是否存在某一時(shí)刻，使得P點(diǎn)到A點(diǎn)、E點(diǎn)的距離之和最短？如果存在，直接寫出PA+PE的最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求得EM；根據(jù)題意求得PD，進(jìn)而即可求得PC；根據(jù)S_△EPC=$\frac{1}{2}$PC•EM=15即可求得t的值；
（2）根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)得出PF=PE，∠FPC=∠EPC，由PF∥EC，得出∠FPC=∠PCE，進(jìn)一步求得∠EPC=∠PCE，根據(jù)等角對(duì)等邊求得PE=CE，證得△EPC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CM=PM=2，即可求得DP=3，從而求得t=$\frac{3}{2}$；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，確定出P點(diǎn)所處的位置，然后根據(jù)勾股定理求得即可．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為7cm，
∴BC=DC=7cm，BC⊥DC，
∵M(jìn)E⊥DC，MC=2，
∴EM∥BC，DM=7-2=5cm，
∴$\frac{EM}{BC}$=$\frac{DM}{DC}$，即$\frac{EM}{7}$=$\frac{5}{7}$，
∴EM=5，
∵DP=2t，
∴PC=7-2t，
∵S_△EPC=$\frac{1}{2}$PC•EM=15，
∴$\frac{1}{2}$（7-2t）×5=15，
解得t=$\frac{1}{2}$；
故答案為5，7-2t，$\frac{1}{2}$．
故答案為：等腰．
（2）△EPC為等腰三角形，
理由：∵△PFC由△PEC反折而成，如圖2，
∴PF=PE，∠FPC=∠EPC，
∵PF∥EC，
∴∠FPC=∠PCE，
∴∠EPC=∠PCE，
∴PE=CE，△EPC為等腰三角形，
∵EM⊥DC，
∴CM=PM=2，
∴DP=3，
∴t=$\frac{3}{2}$；
（3）如圖3，作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)F，則DF=AD=7，連接EF，交DC于P，此時(shí)PA+PE=PF+PE=EF，EF的長(zhǎng)就是PA+PE的最小值；過F點(diǎn)作FN∥CD，交EM的延長(zhǎng)線于N，
∵EM⊥CD，AD⊥DC，
∴EN⊥FN，DF⊥FN，
∴四邊形DMNF是矩形，
∴MN=DF=7，F(xiàn)N=DM=5，
在RT△ENF中，EN=EM+MN=5+7=12，F(xiàn)N=5，
則EF=$\sqrt{E{N}^{2}+F{N}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13（cm）．
∴PA+PE的最小值為13cm．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．