Question

如圖，已知拋物線，頂點記作.首先我們將拋物線關(guān)于直線對稱翻折過去得到拋物線稱為第一次操作，再將拋物線關(guān)于直線對稱翻折過去得到拋物線稱為第二次操作，…，將拋物線關(guān)于直線對稱翻折過去得到拋物線（頂點記作）稱為第n此操作（n=1，2，3…），….設(shè)拋物線與拋物線交于兩點與，順次連接、、、四個點得到四邊形，拋物線與拋物線交于兩點與，順次連接、、、四個點得到四邊形，…，拋物線與拋物線交于兩點與，順次連接、、、四個點得到四邊形（k=1，3，5…），….

（1）請分別直接寫出拋物線（n=1，2，3，4）的解析式；

（2）一系列四邊形 (k=1，3，5…)

為哪種特殊的四邊形（說明理由）？它們

都相似嗎？如果全都相似，請證明之；如

果不全都相似，請舉出一對不相似的反例；

（3）試歸納出拋物線的解析式，無需證明.

并利用你歸納出來的的解析式

求四邊形 (k=1，3，5…)

的面積（用含k的式子表示）.

Answer 1

解：（1）；；；；

 （2）根據(jù)拋物線的對稱性以及翻折的原理不難得出四邊形（k=1，3，5…）的兩條對角線與互相垂直且平分，故一系列四邊形均為菱形；它們并不都相似，反例：四邊形和四邊形不相似，

理由如下：

不難算出，于是四邊形為正方形.

而,,∴，∴四邊形為菱形，∴它們不相似.

（3）拋物線的解析式為：，(或.)

由于四邊形 (k=1，3，5…)是拋物線關(guān)于直線翻折得到拋物線所圍成的圖形，利用上述結(jié)論不難得出：，

，

∴.（或者求解的）

∴.