Question

6．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與過兩點(diǎn)A（0，-2），B（-1，0）的一次函數(shù)的圖象在第二象限內(nèi)相交于點(diǎn)M（m，4）．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在雙曲線（x＜0）上是否存在點(diǎn)N，使MN⊥MB，若存在，請(qǐng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出直線AB的表達(dá)式，由點(diǎn)M的縱坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）假設(shè)存在，過點(diǎn)M作MC⊥x軸于C，過點(diǎn)N作ND⊥MC于D，則△MDN∽△BCM，設(shè)N（n，-$\frac{12}{n}$），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于n的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，此題得解．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=ax+b（a≠0），
將點(diǎn)A（0，-2）、B（-1，0）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x-2．
當(dāng)y=-2x-2=4時(shí)，x=-3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，4），
將點(diǎn)M（-3，4）代入y=$\frac{k}{x}$，
4=$\frac{k}{-3}$，解得：k=-12，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{12}{x}$．

（2）假設(shè)存在，過點(diǎn)M作MC⊥x軸于C，過點(diǎn)N作ND⊥MC于D，如圖所示．
∵∠MND+∠NMD=90°，∠BMC+∠NMD=90°，
∴∠MND=∠BMC，
又∵∠MDN=∠BCM=90°，
∴△MDN∽△BCM，
∴$\frac{MD}{BC}$=$\frac{ND}{MC}$．
設(shè)N（n，-$\frac{12}{n}$），則有$\frac{4+\frac{12}{n}}{2}$=$\frac{-3-n}{4}$，
解得：n=-8或n=-3（不合題意，舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，n=-8是原分式方程的解，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-8，$\frac{3}{2}$），
∴在雙曲線（x＜0）上存在點(diǎn)N（-8，$\frac{3}{2}$），使MN⊥MB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求一次（反比例）函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出關(guān)于n的分式方程．