Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0）、點(diǎn)B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點(diǎn)作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時(shí)針方向排列）連接AB
（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為45°或135°
（2）判斷AB與⊙O的位置關(guān)系．并說明理由：
（3）連接BC、AD，當(dāng)OC∥AD時(shí)，求證：直線BC為⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，從而得出答案；
（2）根據(jù)圓心O到AB的距離即可得到答案；
（3）由于OC=3，CF=$\frac{3}{2}$，得出∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，從而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，∠BOC=∠OBA=45°；
當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，∠BOC=90°+∠OBA=135°；
綜上所述：當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為45°或135°，
故答案為：45°或135°．

（2）AB與⊙O相離，理由：
∵由（1）證得△OAB為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)O到AB的距離=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$＞3，
∴AB與⊙O相離；

（3）直線BC為為⊙O的切線，理由如下：
如圖：在Rt△OCF中，OC=3，CF=$\frac{3}{2}$，
∴sin∠COF=$\frac{CF}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
在△BOC和△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠BOC=∠AOD}\\{BO=AO}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，
∴直線BC是⊙O的切線；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)是切線的判定定理、平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算是本題的關(guān)鍵．