Question

11．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：DF•DE=CE•CB；
（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行且相等，得到一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，一對內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)已知角相等，利用等角的補(bǔ)角相等得到三角形ADF與三角形DEC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得證；
（2）根據(jù)AE與BC垂直，得到兩個(gè)角為直角，利用勾股定理求出BE與DE的長，由三角形ADF與三角形DEC相似，得比例，求出AF的長即可．

解答 （1）證明：∵平行四邊形ABCD，∠AFE=∠B，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFD，
∴△ADF∽△DEC，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{EC}{DE}$，即DF•DE=CE•AD，
則DF•DE=CE•CB；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，EC=3-$\sqrt{7}$，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得：DE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AF}{DC}$，即$\frac{3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{AF}{4}$，
解得：AF=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．