Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（m-2）x+$\frac{1}{2}$m-3=0
（1）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂滿足x₁²+mx₁+2x₂=1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式△=（m-3）²+3＞0，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)得到兩根之和和兩根之積，然后把x₁²+mx₁+2x₂=1，轉(zhuǎn)換為（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用前面的等式即可得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵△=（m-2）²-4×（$\frac{1}{2}m$-3）=（m-3）²+3＞0，
∴無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）∵x₁+x₂=2-m，x₁．x₂=$\frac{1}{2}m-3$，x₁²=-（m-2）x₁-$\frac{1}{2}$m+3，
∴x₁²+mx₁+2x₂=-（m-2）x₁-$\frac{1}{2}$m+3+mx₁+2x₂=2（x₁+x₂）-$\frac{1}{2}$m+3=2（2-m）-$\frac{1}{2}$m+3=1，
∴m=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．