Question

9．我們定義：當(dāng)m，n是正實(shí)數(shù)，且滿足m+n=mn時(shí)，就稱點(diǎn)P（m，$\frac{m}{n}$）為“完美點(diǎn)”，已知點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)B都在直線y=-x+b上，且點(diǎn)B是“完美點(diǎn)”，若點(diǎn)C也是“完美點(diǎn)”且BC=$\sqrt{2}$，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，1）或（4，3）．

Answer 1

分析 由m+n=mn變式為$\frac{m}{n}$=m-1，可知P（m，m-1），所以在直線y=x-1上，點(diǎn)A（0，5）在直線y=-x+b上，求得直線y=-x+5，進(jìn)而求得B（3，2），設(shè)C（a，a-1），然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于a的方程，解方程即可求得．

解答 解：∵m+n=mn且m，n是正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{m}{n}$+1=m，即$\frac{m}{n}$=m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美點(diǎn)”B在直線y=x-1上，
∵點(diǎn)A（0，5）在直線y=-x+b上，
∴b=5，
∴y=-x+5，
∵“完美點(diǎn)”B在直線y=-x+5上，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（3，2），
∵點(diǎn)C是“完美點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C在直線y=x-1上，
設(shè)C（a，a-1），
∵BC=$\sqrt{2}$，
根據(jù)勾股定理，（3-a）²+（2-a+1）²=（$\sqrt{2}$）²，
解得a₁=2，a₂=4，
∴C（2，1）或（4，3）．
故答案為：（2，1）或（4，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用等，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．