Question

3．如圖所示，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=k，點P在BD上移動，保持∠APC=90°，但不與點B和點D重合．
（1）當k=14時，請問在BD上存在多少個P點，使以P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似？并求BP的長．
（2）已知在BD上至少存在一個P點，使以P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出BP=xcm，由BD-BP=PD表示出PD的長，①若△ABP∽△PDC；②若△ABP∽△CDP；根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得比例式，把各邊的長代入即可列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為PB的長．
（2）由（1）①得出$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，整理得：x²-14x+24=0，由根的判別式≥0即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
設BP=xcm，則PD=（14-x）cm，
①若△ABP∽△PDC，
則$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，
整理得：x²-14x+24=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
所以BP=2cm或12cm時，△ABP∽△PDC；
②若△ABP∽△CDP，
則$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，
解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
綜上，BP=2cm或12cm或8.4cm時，△ABP∽△PDC．
即在BD上存在3個P點，使以P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似，BP的長為8.4cm或12cm或2cm．
（2）由（1）①得：若△ABP∽△PDC，
則$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{6}{k-x}=\frac{x}{4}$，
整理得：x²-kx+24=0，
當△=k²-96≥0（k＞0）時，k≥4$\sqrt{6}$，
∴在BD上至少存在一個P點，使以P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似，k的取值范圍為k≥4$\sqrt{6}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及動點問題；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵，注意分類討論．