Question

11．已知：拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，M為它的頂點(diǎn)
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求△MCB的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即可得出MN，再用面積之和即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，判斷出點(diǎn)P是直線BC與拋物線的對(duì)稱軸l的交點(diǎn)，根據(jù)（2）直接得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3a+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖1，
由（1）知，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3；
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，M（1，4），
∵B（3，0）、C（0，3），
∴直線BC解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
∴N（1，2）．
∴MN=2，OB=3，
∴S_△MCB=S_△MNC+S_△MNB=$\frac{1}{2}$MN×OB=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）如圖2，∵直線l是拋物線的對(duì)稱軸，且A，B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴PA+PC最小時(shí)，點(diǎn)P就是直線BC與直線l的交點(diǎn)，
由（2）知，拋物線與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴點(diǎn)P（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積的計(jì)算方法，對(duì)稱的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線的解析式，是一道比較簡單數(shù)形結(jié)合的試題．