Question

15．（1）平面直角坐標(biāo)系中，若以動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（0，1）的距離與點(diǎn)P到直線y=-1的距離相等，滿足要求的動(dòng)點(diǎn)P在某一條拋物線上，則此拋物線的解析式為y=$\frac{{x}^{2}}{4}$．
（2）已知該平面內(nèi)還有一定點(diǎn)A（-1，2），連接PF、PA、FA，當(dāng)△PAF的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出P到F的距離，再根據(jù)P到F的距離為y+1，列出方程，得到拋物線的解析式；
（2）△PAF的周長=PF+AF+PA，由于AF為定值，所以當(dāng)PF+PA最小時(shí)，△PAF的周長最小，由PE=PF，所以當(dāng)PA、PE在同一直線上，可求出P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則
PF=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$，
∵P到F的距離為y+1，
∴y+1=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$，
∴y=$\frac{{x}^{2}}{4}$；
（2）∵△PAF的周長=PF+AF+PA，AF為定值，
∴當(dāng)PF+PA最小時(shí)，△PAF的周長最小，
∵PE=PF，
∴PF+PA=PE+PA最小，
當(dāng)PA、PE在同一直線上，AE⊥x軸，
∵點(diǎn)A（-1，2），
∴P的橫坐標(biāo)為-1，
y=$\frac{（-1）^{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴P（-1，$\frac{1}{4}$）．
故答案為：（1）y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，（2）（-1，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及最短路徑問題，數(shù)形結(jié)合，正確理解題意是解決問題的關(guān)鍵．