Question

1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且對(duì)稱軸是直線x=1．直線y=x-1與拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n相交于C，D兩點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的CBD段上是否存在點(diǎn)P，使△CDP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）點(diǎn)P在拋物線的CB段上時(shí)，設(shè)四邊形APBD的面積為S．當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè)？當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸x=1即可求出m的值，根據(jù)直線y=x-1與拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n相交于C，D兩點(diǎn)即可求出n的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)也可求出；
（2）當(dāng)過點(diǎn)P的直線與CD平行且與拋物線相切時(shí)，△CDP的面積最大，求出滿足條件的解析式，進(jìn)行聯(lián)立方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形分別求出P點(diǎn)在C點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及在點(diǎn)B位置時(shí)四邊形APBD的面積，結(jié)合圖形即可求出滿足條件的S的取值．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n的對(duì)稱軸是直線x=1，
∴m=$\frac{2}{3}$，
∵直線y=x-1與拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n相交于C，D兩點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
∴n=-1，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1，
∴令y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1=0，
∴x²-2x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0）；
（2）當(dāng)過點(diǎn)P的直線與CD平行且與拋物線相切時(shí)，△CDP的面積最大，
設(shè)過點(diǎn)P的直線為y=x+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$，
即x²-5x-3-3b=0，
△=25-4×（-3-3b）=0，
解得b=-$\frac{37}{12}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{37}{12}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{7}{12}}\end{array}\right.$，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{12}$）；
（3）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$，
解得x=0或x=5，
即點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，4），
拋物線y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{4}{3}$）
點(diǎn)C（0，-1）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，-1），
如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C處時(shí)，四邊形APBD的面積為S=S_△ACB+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{1}{2}$×4×4=10，
當(dāng)點(diǎn)P位于頂點(diǎn)坐標(biāo)處時(shí)，四邊形APBD的面積為S=S_△APB+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{32}{3}$，
當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B處時(shí)，四邊形APBD的面積為S=S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
綜上可知：當(dāng)8＜S＜10時(shí)或S=$\frac{32}{3}$時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè)；當(dāng)10≤S＜$\frac{32}{3}$時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及四邊形的面積等知識(shí)，解答（2）問的關(guān)鍵相切的知識(shí)解答，解答（3）問需要分類討論，此題有一定的難度．