Question

7．如圖所示，四邊形ABCD，BEFC都是正方形，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作DP的垂線交對(duì)角線BF于點(diǎn)Q．
（1）如圖①所示，當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)．
①通過(guò)測(cè)量DP，PQ的長(zhǎng)度，可知DP與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系是DP=PQ；
②若M是AD的中點(diǎn)，連接MP，可知MP與BQ滿足的數(shù)量關(guān)系是MP=BQ；
③請(qǐng)證明①、②兩個(gè)數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上的任意位置時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)：（1）中猜想①的兩條線段數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①DP=PQ②MP=BQ
③取AD的中點(diǎn)M，連接MP，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△DMP≌△PBQ，從而得到DP=PQ，MP=BQ；
（2）成立，在AD上截取AM=AP，證明△DMP≌△PBQ即可．

解答 解：（1）①DP=PQ
②MP=BQ
③取AD的中點(diǎn)M，連接MP，如圖①所示，
∵四邊形ABCD是正方形，DP⊥PQ；
∴∠ADP+∠DPA=90°，∠BPQ+∠DPA=90°
∴∠ADP=∠BPQ，
∵AM=AP，
∴∠AMP=45°，
∵∠EBF=45°，
∴∠DMP=∠PBQ=135°，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，P為AB中點(diǎn)，
∴DM=PB，
在△DMP和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠BPQ}\\{DM=PB}\\{∠DMP=∠PBQ}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△PBQ（ASA），
∴DP=PQ，MP=BQ；
（2）成立，如圖②，在AD上截取AM=AP，
∵四邊形ABCD是正方形，DP⊥PQ；
∴∠ADP+∠DPA=90°，∠BPQ+∠DPA=90°
∴∠ADP=∠BPQ，
∵AM=AP，
∴∠AMP=45°，DM=PB，
∵∠EBF=45°，
∴∠DMP=∠PBQ=135°，
在△DMP和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠BPQ}\\{DM=PB}\\{∠DMP=∠PBQ}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△PBQ（ASA），
∴DP=PQ，MP=BQ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及全等三角形判定的理解及運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用類(lèi)比思想作出輔助線．