Question

2．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：
①∠EBG=45°；            ②△DEF∽△ABG；
③S_△ABG=S_△FGH；        ④AG+DF=FG．
其中正確的是①④．（填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根據(jù)折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，AG=GH，BC=BF=10，AB=BH=6，根據(jù)勾股定理求出AG=GH=3，再逐個(gè)判斷即可．

解答 解：∵根據(jù)折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴∠EBG=$\frac{1}{2}×90°=45°$，∴①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=10，∠A=∠C=∠D=90°，
∴根據(jù)折疊得∠BFE=∠C=90°，
∴∠ABG+∠BGA=90°，∠EFD+∠BFA=90°，
∵∠BGA＞∠BFA，
∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB=∠A=90°，∠EFB=∠C=90°，
∴∠GHB=∠EFB，
∴GH∥EF，
∴∠EFD=∠HGF，
根據(jù)已知不能推出∠AGB=∠HGF，
∴∠AGB≠∠EFD，
即△DEF和△ABG不全等，∴②錯(cuò)誤；
∵根據(jù)折疊得：AB=BH=6，BC=BF=10，
∴由勾股定理得：AF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DF=10-8=2，HF=10-6=4，
設(shè)AG=HG=x，
在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH²+HF²=GF²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
即AG=HG=3，
∴S_△ABG=$\frac{1}{2}×AB×AG$=$\frac{1}{2}×6×3$=9，S_△FHG=$\frac{1}{2}×GH×HF$=$\frac{1}{2}×3×4$=6，∴③錯(cuò)誤；
∵AG+DF=3+2=5，GF=10-3-2=5，∴④正確；
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．