Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；
（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；
（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）拋物線的解析式可變形為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），從而可得到點A和點B的坐標，然后再求得點E的坐標，設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入求得k和b的值，從而得到AE的解析式；
（2）設直線CE的解析式為y=mx-$\sqrt{3}$，將點E的坐標代入求得m的值，從而得到直線CE的解析式，過點P作PF∥y軸，交CE與點F．設點P的坐標為（x，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$），則點F（x，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），則FP=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x．由三角形的面積公式得到△EPC的面積=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得x的值，從而得到點P的坐標，作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．然后利用軸對稱的性質(zhì)可得到點G和點H的坐標，當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；
（3）由平移后的拋物線經(jīng)過點D，可得到點F的坐標，利用中點坐標公式可求得點G的坐標，然后分為QG=FG、QG=QF，F(xiàn)Q=FQ三種情況求解即可．

解答 解：（1）∵y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）．
∴A（-1，0），B（3，0）．
當x=4時，y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
∴E（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．
設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線AE的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（2）設直線CE的解析式為y=mx-$\sqrt{3}$，將點E的坐標代入得：4m-$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，解得：m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴直線CE的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．
過點P作PF∥y軸，交CE與點F．

設點P的坐標為（x，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$），則點F（x，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
則FP=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$）-（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x．
∴△EPC的面積=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）×4=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x．
∴當x=2時，△EPC的面積最大．
∴P（2，-$\sqrt{3}$）．
如圖2所示：作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．

∵K是CB的中點，
∴k（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴tan∠KCP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵OD=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OCD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠OCD=∠KCP=30°．
∴∠KCD=30°．
∵k是BC的中點，∠OCB=60°，
∴OC=CK．
∴點O與點K關于CD對稱．
∴點G與點O重合．
∴點G（0，0）．
∵點H與點K關于CP對稱，
∴點H的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．
∴GH=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3．
∴KM+MN+NK的最小值為3．

（3）如圖3所示：

∵y′經(jīng)過點D，y′的頂點為點F，
∴點F（3，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
∵點G為CE的中點，
∴G（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
∴FG=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
∴當FG=FQ時，點Q（3，$\frac{-4\sqrt{3}+2\sqrt{21}}{3}$），Q′（3，$\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{21}}{3}$）．
當GF=GQ時，點F與點Q″關于y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$對稱，
∴點Q″（3，2$\sqrt{3}$）．
當QG=QF時，設點Q₁的坐標為（3，a）．
由兩點間的距離公式可知：a+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}-a）^{2}}$，解得：a=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．
∴點Q₁的坐標為（3，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
綜上所述，點Q的坐標為（3，$\frac{-4\sqrt{3}+2\sqrt{21}}{3}$）或′（3，$\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{21}}{3}$）或（3，2$\sqrt{3}$）或（3，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、軸對稱最短路徑問題、等腰三角形的定義和性質(zhì)，找到KM+MN+NK取得最小值的條件是解答問題（2）的關鍵；分為QG=FG、QG=QF，F(xiàn)Q=FQ三種情況分別進行計算是解答問題（3）的關鍵．