Question

13．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S_△EFC=$\frac{12}{5}$．其中正確結(jié)論的是①②③④（只填序號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，求出DE=2，AF=AB，根據(jù)HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG=FG，∠AGB=∠AGF，設(shè)BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6-x）²+4²=（x+2）²，求出x=3，得出BG=GF=CG，求出∠AGB=∠FCG，推出AG∥CF，根據(jù)全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，求出∠EAG=∠EAF+∠GAF=45°，根據(jù)$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△EGC}}$=$\frac{EF}{EG}$=$\frac{2}{5}$，求出S_△GCE=6，求出S_△EFC即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正確；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
設(shè)BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG²+CE²=EG²，
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2
∴（6-x）²+4²=（x+2）²
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，∴②正確；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG
∴AG∥CF，∴③正確；
∵$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△EGC}}$=$\frac{EF}{EG}$=$\frac{2}{5}$，
∴S_△EFC=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$•3×4=$\frac{12}{5}$，∴④正確，
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，難度偏大．