Question

4．如圖1，已知直線y=-2x+4與兩軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c 的頂點(diǎn)M在線段AB上，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）若b=-2，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若△ACM為等腰三角形時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)M與B點(diǎn)重合，P為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作直線l交拋物線于D、E兩點(diǎn)，連接BD、BE，試證明：對(duì)于x軸負(fù)半軸上任意給定的一點(diǎn)P，都存在這樣的一條直線l，使得△BPD的面積等于△BDE的面積恒成立．

Answer 1

分析 （1）由a=1，b=-2，先求得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線y=-2x+4，即可求得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=x²-2x+c，求得c的值，再把x=0代入所求的解析式即可得解；
（2）由（1）可知，A（0，4），設(shè)M（t，-2t+4），C（0，t²-2t+4），根據(jù)AC=CM可得4-（t²-2t+4）=$\sqrt{{t}^{2}+{t}^{4}}$，求出拋物線的解析式即可；
（3）設(shè)P（m，0），E（n，n²-4n+4），根據(jù)△BPD的面積等于△BDE的面積判斷出D為PE的中點(diǎn)，求出中點(diǎn)坐標(biāo)D為（$\frac{m+n}{2}$，$\frac{{n}^{2}-4n+4}{2}$），得到n²-2mn+8m-8=0，判斷出△=b²-4ac=4m²-32m+32＞0即可．

解答 解：（1）∵b=-2，
∴y=x²-2x+c，
∴頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-$\frac{2a}$=-$\frac{-2}{2}$=1，
把x=1代入y=-2x+4得，y=-2+4=2，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，2），
把（1，2）代入y=x²-2x+c得，
2=1-2+c，
∴c=3，
∴二次函數(shù)解析式為：y=x²-2x+3，
令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；
（2）由（1）可知，A（0，4），設(shè)M（t，-2t+4），C（0，t²-2t+4），
∵拋物線y=x²+bx+c 的頂點(diǎn)M在線段AB上，與y軸交于點(diǎn)C，顯然∠ACM＞90°，
∴△ACM為等腰三角形時(shí)，AC=CM，
∴4-（t²-2t+4）=$\sqrt{{t}^{2}+{t}^{4}}$，
∴t=$\frac{3}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{3}{2}\\ c=\frac{49}{16}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{49}{16}$；
（3）拋物線的頂點(diǎn)M與B點(diǎn)重合時(shí)拋物線的解析式為，y=x²-4x+4，
∵△BPD的面積等于△BDE的面積，
∴D為PE的中點(diǎn)，
∴設(shè)P（m，0），E（n，n²-4n+4），
∴D（$\frac{m+n}{2}$，$\frac{{n}^{2}-4n+4}{2}$），
∴$\frac{{n}^{2}-4n+4}{2}$=（$\frac{m+n}{2}$）²-4•$\frac{m+n}{2}$+4，
化簡(jiǎn)得，n²-2mn-m²+8m-8=0，
∵m＜0，
∴△=b²-4ac=8m²-32m+32=8（m-2）²＞0
∴無(wú)論m為何負(fù)值時(shí)，關(guān)于n的方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即對(duì)于x軸負(fù)半軸上任意給定的一點(diǎn)P，都存在這樣的一條直線l，使得△BPD的面積等于△BDE的面積恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，難度較大．