Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若動點P以2cm/s的速度從B點出發(fā)沿著B→A的方向運動，點Q以1cm/s的速度從A點出發(fā)沿著A→C的方向運動，當點P到達點A時，點Q也隨之停止運動．設運動時間為t（s），當△APQ是直角三角形時，t的值為3-$\sqrt{3}$，$\frac{32-8\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 應分兩種情況進行討論：①當PQ⊥AC時，△APQ為直角三角形，根據(jù)△APQ∽△ABC，可將時間t求出；②當PQ⊥AB時，△APQ為直角三角形，根據(jù)△APQ∽△ACB，可將時間t求出．

解答 解：∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
又∵BC=2cm，∠ABC=60°，
∴AB=2BC=4，AC=2$\sqrt{3}$，
則AP=（4-2t）cm，AQ=t，
∵當點P到達點A時，點Q也隨之停止運動，
∴0＜t≤2，
①如圖1，當PQ⊥AC時，PQ∥BC，則
△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{t}{2\sqrt{3}}=\frac{4-2t}{4}$，
解得t=3-$\sqrt{3}$，
②如圖2，當PQ⊥AB時，△APQ∽△ACB，
則$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
故$\frac{4-2t}{2\sqrt{3}}=\frac{t}{4}$，
解得t=$\frac{32-8\sqrt{3}}{13}$，
故答案為：3-$\sqrt{3}$，$\frac{32-8\sqrt{3}}{13}$．

點評 本題考查了圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合應用能力．在求時間t時應分情況進行討論，防止漏解．