Question

8．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，過(guò)C作CB⊥x軸于B．
（1）求三角形ABC的面積．
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若過(guò)B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖②，求∠AED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，則A（-2，0），C（2，2），B（2，0），然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算S_△ABC；
（2）如圖③，AC交y軸于Q，先確定Q（0，1），設(shè)P（0，t），利用三角形面積公式和S_△PAC=S_△APQ+S_△CPQ=S_△ABC得到$\frac{1}{2}$•|t-1|•2+$\frac{1}{2}$•|t-1|•2=4，然后解方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作EM∥AC，如圖②，則AC∥EM∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，則∠AED=∠CAE+∠BDE，而∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，所以∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB），而由AC∥BD得到∠CAB=∠OBD，于是∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，則∠AED=45°．

解答 解：（1）∵（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，
∴a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2），
∵CB⊥x軸，
∴B（2，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（2+2）×2=4；
（2）存在．
如圖③，AC交y軸于Q，則Q（0，1），
設(shè)P（0，t），
∵S_△PAC=S_△APQ+S_△CPQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•|t-1|•2+$\frac{1}{2}$•|t-1|•2=4，解得t=3或t=-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），（0，-1）；
（3）作EM∥AC，如圖②，
∵AC∥BD，
∴AC∥EM∥BD，
∴∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，
∴∠AED=∠CAE+∠BDE，
∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB），
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠OBD，
∴∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了平行線的性質(zhì)和三角形面積公式．