Question

11．已知x-$\frac{1}{x}$=1（x＞0），則x⁴-$\frac{1}{{x}^{4}}$=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)x-$\frac{1}{x}$=1（x＞0）可以求得$x+\frac{1}{x}$，${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$的值，從而可以求得${x}^{4}-\frac{1}{{x}^{4}}$的值．

解答 解：∵x-$\frac{1}{x}$=1（x＞0），
∴$（x-\frac{1}{x}）^{2}=1$．
即${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2=1$．
∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=3$．
∵$（x+\frac{1}{x}）^{2}={x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+2$，x＞0，
∴$（x+\frac{1}{x}）^{2}=5$．
∴$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$．
∴${x}^{4}-\frac{1}{{x}^{4}}=（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）（{x}^{2}-\frac{1}{{x}^{2}}）$=$（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）（x+\frac{1}{x}）（x-\frac{1}{x}）$=3×$\sqrt{5}×1=3\sqrt{5}$．
故答案為：$3\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是巧妙的利用平方差公式和完全平方公式求出所求問題需要的條件．