Question

20．如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，⊙O的半徑為3，則等邊三角形ABC的邊長為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長．

解答 解：連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵⊙O的半徑為3，
∴OB=3，
∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BD=3$\sqrt{3}$，
∴等邊△ABC的邊長為3$\sqrt{3}$，
故選C．

點評 本題主要考查了垂徑定理，圓的內(nèi)接等邊三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．