Question

10．如圖，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面積S₁為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S₂，S₃，…，S_n（n為正整數(shù)），那么第2015個(gè)正方形的面積S₂₀₁₅為2²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 由題意可以知道第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，就有第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$^（n-1），再根據(jù)正方形的面積公式就可以求出結(jié)論．

解答 解：第一個(gè)正方形的面積為1=，故其邊長(zhǎng)為1=2⁰；
第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，其面積為2=2¹；
第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積為4=2²；
第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，其面積為8=2³；
…
第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（$\sqrt{2}$）^n-1，其面積為2^n-1．
當(dāng)n=2015時(shí)，
S₂₀₁₅=2^2015-1=2²⁰¹⁴．
故答案為：2²⁰¹⁴．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的面積公式的運(yùn)用以及正方形的性質(zhì)及勾股定理得運(yùn)用，是一道探索規(guī)律的試題，解答本題時(shí)找到正方形的面積與邊長(zhǎng)的變化規(guī)律是關(guān)�。�