Question

14．某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=-2x+100．（利潤=售價(jià)-制造成本）
（1）寫出每月的利潤z（萬元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)每月的利潤z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z與x之間的函數(shù)解析式，
（2）把z=350代入z=-2x²+136x-1800，解這個(gè)方程即可，把函數(shù)關(guān)系式變形為頂點(diǎn)式運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（3）根據(jù)銷售單價(jià)不能高于32元，廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤得出銷售單價(jià)的取值范圍，進(jìn)而解決問題．

解答 解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）=-2x²+136x-1800，
∴z與x之間的函數(shù)解析式為z=-2x²+136x-1800；
（2）由z=350，得350=-2x²+136x-1800，
解這個(gè)方程得x₁=25，x₂=43，
所以，銷售單價(jià)定為25元或43元，
將z═-2x²+136x-1800配方，得z=-2（x-34）²+512，
因此，當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元；
（3）結(jié)合（2）及函數(shù)z=-2x²+136x-1800的圖象（如圖所示）可知，
當(dāng)25≤x≤43時(shí)z≥350，
又由限價(jià)32元，得25≤x≤32，
根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y=-2x+100中y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=32時(shí)，每月制造成本最低．最低成本是18×（-2×32+100）=648（萬元），
因此，所求每月最低制造成本為648萬元．

點(diǎn)評 本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式以及利用增減性求出最值，第（3）小題關(guān)鍵是確定x的取值范圍．