Question

20．如圖，已知Rt△ABC中，AB=AC=3$\sqrt{2}$，在△ABC內(nèi)作第一個內(nèi)接正方形DEFG；然后取GF的中點P，連接PD，PE，值△PDE內(nèi)作第二個內(nèi)接正方形HIKJ；再取線段JK的中點Q，在△QHI內(nèi)作第三個內(nèi)接正方形；…依次進行下去，則第n個內(nèi)接正方形的面積為$\frac{1}{{4}^{n-2}}$（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)勾股定理得出BC的長，進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出DE的長，再利用銳角三角函數(shù)的關(guān)系得出$\frac{EI}{KI}$=$\frac{PF}{EF}$=$\frac{1}{2}$，即可得出正方形邊長之間的變化規(guī)律，得出答案即可．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=AC=3$\sqrt{2}$，
∴∠B=∠C=45°，BC=6，
∵在△ABC內(nèi)作第一個內(nèi)接正方形DEFG；
∴EF=EC=DG=BD，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC，
∴DE=2，
∵取GF的中點P，連接PD、PE，在△PDE內(nèi)作第二個內(nèi)接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點Q，在△QHI內(nèi)作第三個內(nèi)接正方形…依次進行下去，
∴$\frac{EI}{KI}$=$\frac{PF}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴EI=$\frac{1}{2}$KI=$\frac{1}{2}$HI，
∵DH=EI，
∴HI=$\frac{1}{2}$DE=（$\frac{1}{2}$）^2-1×2，
第n個內(nèi)接正方形的邊長為：2×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則第n個內(nèi)接正方形的面積為$\frac{1}{{4}^{n-2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{4}^{n-2}}$．

點評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及數(shù)字變化規(guī)律和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出正方形邊長的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．