Question

9．已知：△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DB上的一點(diǎn)，DF=AE，AG是∠BAC的角平分線，F(xiàn)H⊥AG垂足是H，F(xiàn)H、BC相交于I，求證：BI=CI．

Answer 1

分析 延長FH交AC的延長線于點(diǎn)M，作CN∥AB，交FM于點(diǎn)N，易證△AFH≌△AFM，得到∠M=∠AFH，AF=AM，由CN∥AB，得到∠CNM=∠AFH，∠B=∠ICN，則∠CNM=∠M，所以CM=CN，根據(jù)CM=AD-EC，BF=AD-DF，DF=CE=AE，得到BF=CN=CM，可證明△BFI≌△CIN，則BI=CI．

解答 證明：延長FH交AC的延長線于點(diǎn)M，作CN∥AB，交FM于點(diǎn)N，
∵AG是∠BAC的角平分線，F(xiàn)H⊥AG，
∴∠FAH=∠MAH，∠AHF=∠AHM=90°，
在△AFH和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠MAH}\\{AH=AH}\\{∠AHF=∠AHM}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△AFM，
∴∠M=∠AFH，AF=AM，
∵CN∥AB，
∴∠CNM=∠AFH，∠B=∠ICN，
∴∠CNM=∠M，
∴CM=CN，
∵CM=AM-AC=AF-AC=AD+DF-AE-EC，DF=AE，
∴CM=AD-EC
∵BF=AB-AF=2AD-AD-DF=AD-DF，DF=CE，
∴BF=CN=CM，
在△BFI和△CIN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ICN}\\{∠BIF=∠CIN}\\{BF=CN}\end{array}\right.$，
∴△BFI≌△CIN，
∴BI=CI．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形并熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．