Question

1．材料：相似三角形的對應邊的比相等，對應角相等．
（1）如圖①，△ABC中，∠A=50°，∠B=45°，點D、E分別在AB、AC上，且AD•AB=AE•AC．則△ABC與△ADE的關系為△ABC∽△AED，∠ADE=85°；
（2）如圖②，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，M為AD中點，連接CM交BD于點N，且ON=1，求BD的長；
（3）△ABC中，∠A=25°，CD是邊AB上的高，且CD²=AD•BD，請直接寫出∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖①，由AD•AB=AE•AC可推出△ABC∽△AED，從而得到∠ADE=∠C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可解決問題；
（2）如圖②，易證△MND∽△CNB，則有$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$，由M為AD中點及AD=BC可得BN=2DN．設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，從而可得x+1=2（x-1），求出x就可解決問題；
（3）由于CD的位置不確定，故需分情況討論．由CD²=AD•BD可證到△DAC∽△DCB，則有∠DCB=∠A=25°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)就可解決問題．

解答 解：（1）答案為△ABC∽△AED，∠ADE=85°．
提示：如圖①，

∵AD•AB=AE•AC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$．
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴∠ADE=∠C．
∵∠A=50°，∠B=45°，
∴∠C=180°-50°-45°=85°，
∴∠ADE=85°；

（2）如圖②，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$．
∵M為AD中點，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{MD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，即BN=2DN．
設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得x=3．
∴BD=2x=6；

（3）∠ABC的度數(shù)為65°或115°．
提示：CD可能在△ABC內(nèi)，如圖③，也可能在△ABC外，如圖④．

由CD²=AD•BD可證到△DAC∽△DCB，
從而得到∠DCB=∠A=25°，
如圖③，∠B=90°-25°=65°，
如圖④，∠ABC=90°+25°=115°．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)等知識，由于三角形高的位置與三角形的形狀有關，當三角形的形狀不確定時，常需分類討論．