Question

6．如圖，△ABC是等邊三角形，E，D分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，AE=BD，AD和CE交于點(diǎn)P，CQ⊥AD于點(diǎn)Q，若CP=8，PQ=4．

Answer 1

分析 先利用等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，則利用“SAS”可證明△ABD≌△CAE，所以∠BAD=∠ACE，再證明∠QPC=∠EAC=60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求PQ的長(zhǎng)．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠B=∠CAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠QPC=∠PCA+∠PAC=∠PAE+∠PAC=∠EAC=60°，
∵CQ⊥AD，
∴∠PQC=90°，
在Rt△PQC中，∵∠PCQ=90°-60°=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$×8=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．