Question

3．如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC+∠ACE=90°．
（1）請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)∠E=90°且AB與CD的位置關(guān)系保持不變，當(dāng)直角頂點(diǎn)E點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，寫出∠BAE與∠ECD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且AB與CD的位置關(guān)系保持不變，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外），∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線定義得出∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，求出∠ACD+∠BAC=180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAE=∠AFC，求出∠AEC=∠AFC+∠ECD=90°，即可得出答案；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠ACG，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACG=∠CPQ+∠CQP，即可得出答案．

解答 解：（1）AB∥CD，
理由：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，
又∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴AB∥CD；

（2）∠BAE+∠ECD=90°，
理由：延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，

∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AFC，
∵∠AEC是△EFC的一個(gè)外角，
∴∠AEC=∠AFC+∠ECD=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°；

（3）∠CPQ+∠CQP=∠BAC，
證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACG，
∵∠ACG是△PCQ的一個(gè)外角，
∴∠ACG=∠CPQ+∠CQP，
∴∠CPQ+∠CQP=∠BAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．