Question

9．已知：如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q，求證：PQ=$\frac{1}{2}$BP．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的判定方法SAS可證得△BEC≌△ADB，根據(jù)各角的關(guān)系及三角形內(nèi)角、外角和定理可證得∠BPQ=60°，即可得結(jié)論．

解答 解：AE=CD，AC=BC，
∴EC=BD；
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，
在△BEC與△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DB}\\{∠C=∠ABC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到等邊三角形、直角三角形、三角形內(nèi)角及外角和定理等知識點(diǎn)，是一道難度中等的綜合題型．