Question

7．如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、BD、AC與BD相交于點F，連接EF，對于下列四種說法：
①四邊形AFDE是菱形；②△ABF的周長=AB+AC；③AF平分∠BFE；④CD²=CF•CA
正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①首先由正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=DE=AE，AC∥ED，BD∥AE，AE=DE，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證；②由正五邊形的性質(zhì)可得AC=BD，由四邊形AFDE是菱形，易得AE=AF=AB=DF，BF=CF，△ABF的周長=AB+AF+BF=AB+AF+CF=AB+AC；③由四邊形AFDE是菱形，易得∠AFE=∠DEF，∠AFB=∠EDF，由正五邊形的性質(zhì)得∠AED=108°，∠FED=∠EFD=54°，∠EDF=72°，可得∠AFE≠∠AFB，證得結(jié)論；④可證△CAD∽△CDF，由相似三角形的性質(zhì)$\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CF}$，易得結(jié)論．

解答 解：①∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，AC∥DE，BD∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AE=DE，
∴四邊形AFDE是菱形，
故此選項正確；
②由正五邊形的性質(zhì)可得AC=BD，
∵四邊形AFDE是菱形，
∴AE=AF=AB=DF，
∴BF=CF，
∴△ABF的周長=AB+AF+BF=AB+AF+CF=AB+AC，
故此選項正確；
③∵四邊形AFDE是菱形，
∴∠AFE=∠DEF，∠AFB=∠EDF，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠AED=108°，
∴∠FED=∠EFD=54°，∠EDF=72°，
∴∠AFE≠∠AFB，
故此選項錯誤；
④∵五邊形ABCDE是正五邊形，四邊形AFDE是菱形，
∴DF=DC，AC=AD
∴∠DCF=∠DFC，∠ACD=∠ADC，
∵∠FAE=∠EDF=72°，∠CDE=108°，
∴∠CDF=36°，∠CAD=36°，
∴∠DCF=∠DFC=72°，
∴∠CAD=∠CDF，∠DCF=∠ACD，
∴△CAD∽△CDF，
∴$\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CF}$，
∴CD²=CF•CA，
故此選項正確，
正確的說法有：①②④，共3個．
故選C．

點評 本題考查了正五邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，綜合考察的知識點較多，解答本題注意已經(jīng)證明的結(jié)論，可以直接拿來使用．