Question

15．如圖一，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）將圖一中△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，得到△CDF，連接BF，如圖二，求線段BF的長．

Answer 1

分析 （1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD，進(jìn)而利用菱形的性質(zhì)得出AD=AB，即可得出△ABD是等邊三角形；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠FDB=90°，再結(jié)合勾股定理得出得出BF的長．

解答 （1）證明：如圖一，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴AD=DB=AB，
∴△ABD是等邊三角形；

（2）解：如圖二，
由（1）得：△ABD是等邊三角形，
則∠ADE=∠BDE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∵DE⊥AB，
∴∠EDC=90°，
∴∠BDF=∠FDC+∠CDB=∠EDB+∠CDB=90°，
∵△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，得到△CDF，
∴DF=ED=$\sqrt{3}$，BD=2，
∴BF=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用已知得出AD=BD是解題關(guān)鍵．