Question

11．如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)F為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BCF沿BF折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在點(diǎn)D′處時(shí)，EF的長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AD′，BD′=BC，∠DAE=∠D′AE，∠CBF=∠D′BF，根據(jù)已知條件得到AD′=BD′，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠D′AB=∠D′BA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED′=FD′，求得DE=CF，設(shè)DE=CF=D′E=D′F=x，得到EF=6-2x，過D′作D′G⊥AB于G反向延長(zhǎng)交EF于H，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意得△ADE≌△AD′E，△BCF≌△BD′F，
∴AD=AD′，BD′=BC，∠DAE=∠D′AE，∠CBF=∠D′BF，
∵矩形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∴AD′=BD′，
∴∠D′AB=∠D′BA，
∴∠EAD′=∠FBD′，
∴△AED′≌△BFD′，
∴ED′=FD′，
∴DE=CF，
設(shè)DE=CF=D′E=D′F=x，
∴EF=6-2x，
過D′作D′G⊥AB于G反向延長(zhǎng)交EF于H，
∵CD∥AB，
∴GH⊥EF，
則EH=HF=3-x，HG=AD=5，
∴D′G=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{G}^{2}}$=4，
∴HD′=1，
∵EH²+HD′²=ED′²，
∴（3-x）²+1=x²，
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴EF=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．