Question

19．如圖，在⊙O中，弦AB⊥CD，H為垂足，AE是O的直徑．求證：HA²+HD²+HC²+HB²=AE²．

Answer 1

分析 連接BO，DO，作OG⊥CD于點(diǎn)G，作OF⊥AB于點(diǎn)F”構(gòu)造矩形OGHF，然后利用勾股定理和垂徑定理，求得OG²+OF²=OH²，因?yàn)镠A²+HD²+HC²+HB²=（HA+HB）²-2HA•HB+（HC+HD）²-2HC•HD=AB²+CD²-4HA•HB，過(guò)點(diǎn)H作直徑MN，根據(jù)相交弦定理得出HA•HB=HM•HN=（R-OH）（R+OH）=R²-OH²，代入得到HA²+HD²+HC²+HB²=4R²=（2R）²=AE²．

解答 解：∵HA²+HD²+HC²+HB²=（HA+HB）²-2HA•HB+（HC+HD）²-2HC•HD=AB²+CD²-4HA•HB，
如圖，過(guò)點(diǎn)H作直徑MN，則HM•HN=HA•HB，
∴HA²+HD²+HC²+HB²=AB²+CD²-4HM•HN，
∵HM•HN=（R-OH）（R+OH）=R²-OH²
∴HA²+HD²+HC²+HB²=AB²+CD²-4（R²-OH²）=AB²+CD²-4R²+4OH²，
作OG⊥CD于點(diǎn)G，作OF⊥AB于點(diǎn)F，
∵DC⊥AB，OG⊥CD，OF⊥AB，
∴四邊形OGHF為矩形；
∵FH²+OF²=OH²（勾股定理），
又∵FH²=OG²
∴OG²+OF²=OH²；
∵OF²=BO²-BF²=R²-$\frac{1}{4}$AB²；
又∵OG²=OD²-GD²=R²-$\frac{1}{4}$CD²，
∴HA²+HD²+HC²+HB²
=AB²+CD²-4R²+4（R²-$\frac{1}{4}$AB²+R²-$\frac{1}{4}$CD²）
=4R²
=（2R）²，
∵AE=2R，
∴HA²+HD²+HC²+HB²=AE²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了的是垂徑定理和勾股定理．解得該題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)建矩形OFHG，利用勾股定理、矩形的性質(zhì)以及垂徑定理將 AB²+CD²聯(lián)系在同一個(gè)等式中，然后根據(jù)代數(shù)知識(shí)求解．