Question

9．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分別是AB、BC邊上的中點，連接EF．若EF=$\sqrt{3}$，BD=4，則菱形ABCD的周長為4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD=2，證出EF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出AC=2EF=2$\sqrt{3}$，得出OA=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出AB，即可求出菱形的周長．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴∠AOB=90°，
∵E、F分別是AB、BC邊上的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴AC=2EF=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴菱形ABCD的周長=4AB=4$\sqrt{7}$；
故答案為：4$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三角形中位線定理得出AC，由勾股定理求出AB是解決問題的關鍵．