Question

8．邊長為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DE∥AB，EC=2$\sqrt{3}$．
（1）如圖1，將△DEC沿射線EC方向平移，得到△D′E′C′，邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M，邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N，當(dāng)CC′多大時(shí)，四邊形MCND′為菱形？并說明理由．
（2）如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，連接AD′、BE′．邊D′E′的中點(diǎn)為P．
①在旋轉(zhuǎn)過程中，AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD′的值．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形MCND'為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出CN=CM，即可求出CC'；
（2）①分兩種情況，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可判斷出△ACD≌△BCE'即可得出結(jié)論；
②先判斷出點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)CC'=$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形MCND'是菱形．
理由：由平移的性質(zhì)得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC'=180°-∠ACB=120°，
∵CN是∠ACC'的角平分線，
∴∠D'E'C'=$\frac{1}{2}$∠ACC'=60°=∠B，
∴∠D'E'C'=∠NCC'，
∴D'E'∥CN，
∴四邊形MCND'是平行四邊形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，
∴△MCE'和△NCC'是等邊三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵E'C'=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形MCND'是菱形，
∴CN=CM，
∴CC'=$\frac{1}{2}$E'C'=$\sqrt{3}$；
（2）①AD'=BE'，
理由：當(dāng)α≠180°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠ACD'=∠BCE'，
由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，
∴△ACD'≌△BCE'，
∴AD'=BE'，
當(dāng)α=180°時(shí)，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，
即：AD'=BE'，
綜上可知：AD'=BE'．
②如圖連接CP，
在△ACP中，由三角形三邊關(guān)系得，AP＜AC+CP，
∴當(dāng)點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，
如圖1，在△D'CE'中，由P為D'E的中點(diǎn)，得AP⊥D'E'，PD'=$\sqrt{3}$，
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'=$\sqrt{A{P}^{2}+PD{'}^{2}}$=2$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是四邊形MCND'是平行四邊形，解（2）的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大．