Question

2．已知y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1 
（1）把它配方成y=a（x-h）²+k形式；
（2）寫出它的開口方向、頂點(diǎn)M的坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程和最值；
（3）求出圖象與y軸、x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）作出函數(shù)圖象；
（5）x取什么值時(shí)y＞0，y＜0；
（6）設(shè)圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，求△AMB面積．

Answer 1

分析 （1）利用配方法可把一般式變形為y=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）求自變量為0時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可得到拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；求函數(shù)值為0時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量的值可確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象；
（5）觀察函數(shù)圖象，寫出函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍和函數(shù)圖象在x軸下方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可；
（6）先計(jì)算出AB，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1；
（2）拋物線的開口向上，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（-2，-1），對(duì)稱軸為直線x=-2，最小值為-1；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1=1，則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x²+2x+1=0，解得x₁=-2+$\sqrt{2}$，x₂=-2-$\sqrt{2}$，則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2+$\sqrt{2}$，0），（-2-$\sqrt{2}$，0）；
（4）如圖，

（5）當(dāng)x＜-2-$\sqrt{2}$或x＞-2+$\sqrt{2}$時(shí)，y＞0；
當(dāng)-2-$\sqrt{2}$＜x＜-2+$\sqrt{2}$時(shí)，y＜0；
（6）如圖，AB=-2+$\sqrt{2}$-（-2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
所以△AMB面積=×2$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的三種常見形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；交點(diǎn)式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．