Question

7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線(xiàn)MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，△ABC進(jìn)行怎樣的變化才能使四邊形AECF是正方形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線(xiàn)定義得∠1=∠2，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠1=∠3，則∠2=∠3，所以O(shè)E=OC，同理可得OC=OF，所以O(shè)E=OF；
（2）由OE=OF，OA=OC可判斷四邊形AECF為平行四邊形，再證明∠ECF=90°，則可判斷四邊形AECF為矩形，根據(jù)正方形的判定方法，當(dāng)∠2=45°時(shí)，四邊形AECF為正方形，于是可得∠ACB=90°．

解答 （1）證明：如圖，
∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OE=OC，
同理可得OC=OF，
∴OE=OF；
（2）解：∵OE=OF，OA=OC，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF為矩形，
當(dāng)∠2=45°時(shí)，四邊形AECF為正方形，
此時(shí)∠ACB=90°，
即當(dāng)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，△ABC中∠ACB=90°時(shí)，四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定：先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．