Question

19．在四邊形OABC中，AB∥OC，∠OAB=90°，∠OCB=60°，AB=2，OA=2$\sqrt{3}$．
（1）如圖1，連結(jié)OB，請(qǐng)直接寫(xiě)出OB的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于交BC于H，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△OPQ的面積為S（平方單位）．
①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)M，當(dāng)△OPM等等腰三角形時(shí)，試求出△OPQ的面積S的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理即可求得OB的長(zhǎng)；
（2）①根據(jù)題意得出△BOC為等邊三角形，進(jìn)而得出OH的長(zhǎng)，從而表示出OP的長(zhǎng)，進(jìn)一步表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用S=$\frac{1}{2}$OQ•x_p求出即可；②利用（i）若OM=PM，（ii）若OP=OM，（iii）若OP=PM，分別分析得出即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABO中，AB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4；

（2）①如圖，建立平面坐標(biāo)系，

∵tan∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC=60°，
∵∠BCO=60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OH=OB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴OH=AO=2$\sqrt{3}$，
∴OP=OH-PH=2$\sqrt{3}$-t，
∴x_p=OP•cos30°=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，y_p=OP•sin30°=$\sqrt{3}$-$\frac{t}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$OQ•x_p
=$\frac{1}{2}$t（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t  （0＜t＜2$\sqrt{3}$），
②若△OPM為等腰三角形，則：
（i）如圖2，若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC，

∴PQ∥OC，
∴OQ=y_p
即t=$\sqrt{3}$-$\frac{t}{2}$，
解得：t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此時(shí)S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{3}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（ii）如圖3，若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，

∴∠OQP=45°，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，則有：EQ=EP，
即t-（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t）=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得：t=2，
此時(shí)S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²+$\frac{3}{2}$×2=3-$\sqrt{3}$；
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，
∴PQ∥OA，
此時(shí)Q在AB上，不滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．