Question

14．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3  與 x 軸交于點 A，點 B，與 y 軸交于點C，點D 與點C關(guān)于 x 軸對稱，點 P 是 x 軸上的一個動點，設點P 的坐標為（m，0），過點 P 作 x 軸的垂線 l 交拋物線于點 Q．
（1）求直線BD的解析式；
（2）當點P在線段OB上運動時，直線 l 交 BD 于點M，當△DQB面積最大時，在x軸上找一點E，使QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB的值最小，求E的坐標和最小值．
（3）在點P的運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點A、B、C的坐標，然后依據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可求得點D的坐標，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得BD的解析式；
（2）設點P 的坐標為（m，0），則點Q（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3），M（m，$\frac{1}{2}$m-3），依據(jù)△QBD的面積=$\frac{1}{2}$AB•QP列出△QBD的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得m的值，從而得到點Q的坐標，過點E作EF⊥BD，垂足為F．先證明EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$BE，則QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB=QE+EF．當點Q、E、F在一條直線上時，QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB有最小值；
（3）當∠QDB=90°時或當∠QBD=90°時，求得求得DQ或BD的解析式，然后求得直線與拋物線的交點坐標即可，當∠BQD=90°時．設點Q的坐標為（x，$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3），則QD²=x²+（$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+6）²，BQ²=（x-6）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3）²，BD²=45，然后依據(jù)勾股定理列方程求解即可．

解答 解：（1）當y=0時，$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3=0，解得x₁=6，x₂=-1，
∴A（-1，0）、B（6，0），
當x=0時，y=3，則C（0，3）．
∵點 D 與點 C 關(guān)于 x 軸對稱，
∴點D為（0，-3）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，將D（0，-3）和B （6，0）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-3．
∴直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3．
（2）設點P 的坐標為（m，0），則點Q（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3），M（m，$\frac{1}{2}$m-3）．
△QBD的面積=$\frac{1}{2}$AB•QP=$\frac{1}{2}$×6×（$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3-$\frac{1}{2}$m+3）=-$\frac{3}{2}$（m-2）²+24，
∴當m=2時，△QBD的面積有最大值，此時Q（2，6）．
如圖1所示：過點E作EF⊥BD，垂足為F．

在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，則BD=3$\sqrt{5}$，
∴tan∠EBF=tan∠OBD=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$BE．
∴QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB=QE+EF．
∴當點Q、E、F在一條直線上時，QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB有最小值．
過點Q作QF′⊥BC，垂足為F′，QF′交OB與點E′．
設QF′的解析式為y=-2x+b，將點Q的坐標代入得：-4+b=6，解得b=10，
∴QF′的解析式為y=-2x+10．
當y=0時，-2x+10=0，解得x=5，
∴點E′的坐標為（5，0）．即點E的坐標為（5，0）時QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB有最小值．
∴QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB的最小值=$\sqrt{（5-2）^{2}+（6-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．
（3）當∠QDB=90°時，DQ的解析式為y=-2x-3．
將y=-2x-3與y=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3聯(lián)立解得：x=$\frac{9+\sqrt{129}}{2}$或x=$\frac{9-\sqrt{129}}{2}$．
∴點Q的坐標為（$\frac{9+\sqrt{129}}{2}$，-12-$\sqrt{129}$）或（$\frac{9-\sqrt{129}}{2}$，-12+$\sqrt{129}$）
當∠QBD=90°時，DB的解析式為y=-2x+12，
將y=-2x+12與y=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3聯(lián)立解得x=3或x=6（舍去）．
∴點Q的坐標為（3，6）．
當∠BQD=90°時．設點Q的坐標為（x，$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3），則QD²=x²+（$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+6）²，BQ²=（x-6）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3）²，BD²=45，
依據(jù)勾股定理可知：x²+（$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+6）²+（x-6）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3）²=45，解得：x=6$\frac{1}{3}$或x=6（舍去）．
將x=6$\frac{1}{3}$代入拋物線的解析式得：y=-$\frac{11}{9}$．
∴點Q的坐標為（6$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．
綜上所述，點Q的坐標為（$\frac{9+\sqrt{129}}{2}$，-12-$\sqrt{129}$）或（$\frac{9-\sqrt{129}}{2}$，-12+$\sqrt{129}$）或（3，6）或（6$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、二次函數(shù)的性質(zhì)，明確當點Q、E、F在一條直線上時，QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB的長度由最小值是解題的關(guān)鍵，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解答問題（3）的關(guān)鍵．