Question

3．例：解方程x⁴-7x²+12=0
解：設x²=y，則x⁴=y²，
∴原方程可化為：y²+7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4
當y=3時，x²=3，x=±$\sqrt{3}$，當y=4時，x²=4，x=±2．
∴原方程有四個根是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₁=2，x₂=-2．
以上方法叫換元法，達到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想，運用上述方法解答下列問題．
（1）解方程：（x²+x-2）（x²+x-3）=2；
（2）已知a、b、c是Rt△ABC的三邊（c為斜邊），S_△ABC=6，且a、b滿足（a²+b²）-21（a²+b²）-100=0，試求Rt△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）類比題目設y=x²+x-2，轉化為求y²-y-2=0的解可得y的值，即可得x²+x-2的值，再進一步解關于x的方程即可得；
（2）利用換元法y=a²+b²，可得y²-21y-100=0，解之可得a²+b²的值，再根據(jù)勾股定理知c的值，結合三角形的面積得ab=12，最后a²+b²=25，即（a+b）²-2ab=25可得a+b，繼而知答案．

解答 解：（1）設y=x²+x-2，則y²-y-2=0，解得y₁=-1，y₂=2，
當x²+x-2=-1 即x²+x-1=0時，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
當x²+x-2=2 即x²+x-4=0時，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；
綜上所述，原方程的解為x_1，2=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，x_3，4=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；

（2）設y=a²+b²，則y²-21y-100=0，
整理，得：（y-25）（y+4）=0，
解得y₁=5，y₂=-4（舍去），
故a²+b²=25．
∴c=5，
又∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$ab=6，
∴ab=12，
又a²+b²=25，即（a+b）²-2ab=25，
∴（a+b）²=49，
∴a+b=7，
∴a+b+c=12，即△ABC的周長為12．

點評 本題主要考查換元法解方程的方法和勾股定理，換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．