Question

12．當(dāng)x，y為整數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式6x²-2xy²-4y-8的最小正值是4．

Answer 1

分析 首先6x²-2xy²-4y-8=t，根據(jù)x、y為整數(shù)得到只有當(dāng)x是奇數(shù)，y是偶數(shù)時(shí)，3x²-xy²是奇數(shù)，令x=2m+1，y=2n，m、n均為整數(shù)得到3（2m+1）2-4n²（2m+1）-2y-5=0，化簡得：6m²+6m-4mn²-2n²-2n-1=0，然后根據(jù)6m²+6m-4mn²-2n²-2n是偶數(shù)，1是奇數(shù)，得到原式的最小正值為4．

解答 解：令6x²-2xy²-4y-8=t，
∵x、y為整數(shù)，
∴t是偶數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，t=4，
∴若t=2時(shí)，則原式的最小正值為2，
若t≠2，則原式的最小正值是4，
令t=2，則6x²-2xy²-4y-8=2，3x²-xy²-2y-5=0①，
∵2y+5是奇數(shù)，
∴若①式成立，3x²-xy²一定是奇數(shù)，
當(dāng)x、y同為偶數(shù)或同為奇數(shù)時(shí)，3x²-xy²是偶數(shù)，
①式不成立；
當(dāng)x是偶數(shù)，y是奇數(shù)時(shí)，3x²-xy²是偶數(shù)，
①式不成立；
綜上，只有當(dāng)x是奇數(shù)，y是偶數(shù)時(shí)，3x²-xy²是奇數(shù)，①式可能成立．
令x=2m+1，y=2n，m、n均為整數(shù)，
∴3（2m+1）2-4n²（2m+1）-2y-5=0，
化簡得：6m²+6m-4mn²-2n²-2n-1=0，
∵6m²+6m-4mn²-2n²-2n是偶數(shù)，1是奇數(shù)，
∴t≠2，
∴原式的最小正值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是討論x、y的整數(shù)值使得式子有最小值，難度較大．