Question

14．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，連接AP，過(guò)P點(diǎn)作AP的垂線，與過(guò)點(diǎn)Q垂直于BC的直線m相交于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）
（1）∠PAE的度數(shù)為45°，EQ=t（用t表示）；
（2）△PCF的周長(zhǎng)會(huì)隨著t的變化而變化嗎？若變化說(shuō)明理由，若不變求出定值；
（3）當(dāng)△PAF為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出AB=PQ，用同角的余角相等得出∠BAP=∠QPE，進(jìn)而得出△ABP≌△PQE，即可判斷出三角形APE是等腰直角三角形即可；
（2）先判斷出△ABG≌△ADF，進(jìn)而得出△PAG≌△PAF，得出PG=PF，最后用等量代換即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況，用三角形全等和由運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，BP=CQ，
∴PQ=PC+CQ=PC+BP=BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB=PQ，
∵EQ⊥BC，
∴∠PQE=∠ABC=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APB+∠EPQ=90°，
∴∠BAP=∠QPE，
在△ABP和△PQE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠QPE}\\{AB=PQ}\\{∠ABP=∠PQE=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PQE，
∴PA=PE，BP=EQ=t，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE=45°，
故答案為：45°，t；
（2））△PCF的周長(zhǎng)不會(huì)隨著t的變化而變化；
理由：如圖2，延長(zhǎng)PB至G，使BG=DF，
在△ABG和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF=90°}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
由（1）知，∠PAF=45°，
∴∠DAF+∠BAP=45°，
∴∠BAG+∠BAP=45°，∠PAG=45°=∠PAF
在△PAG和△PAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠PAG=∠PAF}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△PAF，
∴PG=PF，
∴△PCF的周長(zhǎng)=PF+PC+CF=PG+PC+CF=BP+BG+PC+CF=BP+PC+CF+DF=BC+CD=2BC=12．
（3）當(dāng)AP=AF時(shí)，
在Rt△ABP和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△ADF，
∴∠BAP=∠DAF，
∵∠BAP+∠DAF=45°，
∴∠BAP=22.5°，
∵∠BAC=45°，
∴∠CAP=22.5°=∠BAP，
∴AP是∠BAC的平分線，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，BP=t，PC=BC-BP=6-t，
∴$\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{t}{6-t}$，
∴t=6（$\sqrt{2}$-1），
當(dāng)PA=PF時(shí)，由（1）知，PA=PE，
∴點(diǎn)F，E重合，
即：點(diǎn)E，F(xiàn)，C重合，點(diǎn)P和B重合，
此時(shí)，t=0，
當(dāng)FA=FP時(shí)，∠FPA=∠FAP=45°，
∴∠AFP=90°，
∴點(diǎn)F和點(diǎn)D重合，
此時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)C重合，
∴BP=BC=6，
∴t=6÷1=6．
即：當(dāng)△PAF為等腰三角形時(shí)，t的值為0或6（$\sqrt{2}$-1）或6．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠PAF=45°，是一道中等難度的中考常考題．