Question

1．已知，如圖，CD是△ABC的高，∠A=22.5°，邊AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，EF⊥BC，交CD于點(diǎn)G，垂足為F．
（1）求證：DG=DB；
（2）若EF平分∠CEB，試探索線段CF與EG之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理得出AE=EC，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACE=∠A=22.5°，得出∠CED=45°，從而得出△CDE是等腰直角三角形，得出ED=CD，然后根據(jù)ASA求得△GED≌△BCD，即可證得DB=DG．
（2）由（1）三角形全等可知EG=BC，根據(jù)ASA求得△ECF≌△EBF，即可證得CF=BF，從而證得CF=$\frac{1}{2}$EG．

解答 證明：∵EN垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴∠ACE=∠A=22.5°，
∴∠CED=45°，
∵EF⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴ED=CD，
∵EF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠GED=∠BCD，
在△GED和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GED=∠BCD}\\{ED=CD}\\{∠EDG=∠CDB=90°}\end{array}\right.$，
∴△GED≌△BCD（ASA），
∴DB=DG．
（2）由（1）可知△GED≌△BCD，
EG=BC，
在△ECF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠BEF}\\{EF=EF}\\{∠CFE=∠BFE=90°}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△EBF（ASA），
∴CF=BF，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴CF=$\frac{1}{2}$EG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．