Question

6．如圖，等腰直角△ABC和等腰直角△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，現(xiàn)將△ADE繞點A逆時針轉動．

（1）如圖1，當AD⊥BC時，求證：AM=DM；
（2）如圖2，當點D落在BC上時，連接EC，求∠ACE的度數(shù)；
（3）如圖3，當點D落在AC上時，連接BD，CE，并取BD，CE的中點M，N，若AD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）證明∠MAD=∠D=45°，即可解決問題．
（2）證明△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠B=45°，即可解決問題．
（3）連接AM、AN，證明∠MAN=90°，此為解題的關鍵性結論；求出AM=AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，運用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：由題意得∠B=∠D=45°；
∵AD⊥BC，
∴∠DAB+∠B=90°
∴∠DAB=45°，
∴∠MAD=90°-45°=45°，
∴∠AMD=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM=DM．
（2）解：由題意得：∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE；
在△ACE與△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠EAC=∠DAB}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°．
（3）解：如圖，連接AM、AN；
類比（2）中的方法，同理可證△AEC≌△ADB，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD（設為α）；
∵點M、N分別為BD、CE的中點，
∴AN=CN，AM=DM，
∴∠NAC=∠NCA=α，∠MAD=∠MDA（設為β）；
在△ABD中，∵α+β=90°，
∴∠MAN=α+β=90°；
由勾股定理得：BD²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²=5，
∴BD=$\sqrt{5}$，AM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
同理可求AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
由勾股定理得：MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 該題主要考查了旋轉變換的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理等幾何知識點及其應用問題；牢固掌握旋轉變換的性質、直角三角形的性質、勾股定理等幾何知識點是解決問題的關鍵．